Conociendo funciones

Función cuadrática

Estándar:
Identifica relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Logros:
- Representa gráficamente y analiza la forma de una función cuadrática.
- Utiliza diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.
- Identifica las funciones correspondientes a una familia de funciones.

Cuando tienes una función de la siguiente forma:

con a, b y c números reales, y a sea diferente de 0 (cero), estás observando la ecuación de una función cuadrática. Esta función también es denominada función polinómica de segundo grado, cuya representación gráfica es, una parábola, cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo [k,+infinito) si la parábola abre hacia arriba o (-infinito, k) si la parábola abre hacia abajo, como se muestra en la imagen:

Elementos de la parábola

En toda parábola se distinguen los siguientes elementos:

- Abertura, está determinada por el coeficiente de X cuadrado; si a es mayor que cero, es decir a es positivo, la parábola abre hacia arriba, y si a es menor que cero, es decir, a es un número negativo, la parábola abre hacia abajo.

- Vértice, es el punto b (h,k), donde h=-b/2a, y k=f(-b/2a), si la parábola abre hacia abajo, el vértice es el valor máximo; si la parábola abre hacia arriba es el valor minino.

-Eje de simetría, es la recta que pasa por el vértice y es paralela al eje y, recibe este nombre, pues al doblar los dos brazos de la parábola coinciden en todos sus puntos.

- y - interceptos, el punto es el punto (0,C); dicho valor se halla al remplazar x por 0 en la                   expresión f(x)= ax2 + bx + c.

- x - interceptos, son los puntos de corte de la gráfica con el eje X y se hallan al sustituir Y por cero en la expresión f(x)= ax2 + bx + c.

Ejemplo
Para  graficar una función cuadrática:
1. Dibujas una tabla, que puede ser horizontal o vertical, para los valores de la variable independiente X y la variable dependiente Y o f(x). La variable independiente (X) toma valores arbitrarios, se recomienda valores positivos, valores negativos y el cero. 

2. Remplazas los valores de X, en la ecuación de la parábola para conseguir los valores de la variable dependiente (Y).

Por ejemplo, tenemos:

Remplazamos el valor de X = 1 en la función:

   

                                                             
3. Una vez hallados todos los valores los colocamos en la tabla, se procede a ubicar las parejas ordenadas de la siguiente forma:

4. Cada pareja ordenada de (X,Y), corresponde a un punto en el plano cartesiano.
Las parejas ordenadas en este caso son: (-3,15), (-2,8), (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3).

En la ecuación el valor de a es mayor que 0, es decir, 1 por lo tanto la abertura es hacia arriba.
El vértice es (1,-1). 
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, la cual es paralela al eje y, en la gráfica está representada con el color verde.
El intercepto con el eje y es el punto (0,0).
Los interceptos con el eje x son: (0,0) y (2,0).

Cuando no se tiene la gráfica:

• Para hallar el vértice (h,k), se utilizan las fórmulas :    

                 y      



Para hallar el intercepto con el eje y, se remplaza x  por 0 en la expresión:

El eje de simetría está ubicado a una distancia  , es decir, este valor está ubicado en el eje x y es paralelo al eje y.

Para hallar los interceptos con el eje x, o puntos de corte con el el eje x, se reemplaza y ó f(x) por 0 y se resuelve. Los valores que se obtienen de x son llamados raíces, ceros o soluciones de la función cuadrática, y se presentan tres casos:

Caso 1.
La gráfica de la función corta al eje x en un solo punto. En este caso se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en el vértice.

Caso 2.
La gráfica de la función corta al eje x en dos puntos, en cuyo  caso se dice que la función tiene dos raices reales diferentes.

Caso 3.
La gráfica de la función no corta al eje x, en cuyo caso se dice que la función no tiene solución real. Es decir, sus raíces son números complejos.

GRAFICANDO PARÁBOLAS
Caso 1

, donde b=0 y c=0.

La gráfica de la función , es una parábola cuyo vértice se encuentra ubicado en el punto (0,0) y pasa por los puntos (-1,a) y (1,a). Si a>0 abre hacia arriba y si a<0, abre hacia abajo. El eje de simetría es el eje y.

Además, si |a|>0, entonces la parábola se cierra en relación con la parábola , y si |a|<1, la parábola se abre con relación con la parábola .

Caso 2

, donde b=0.

La gráfica de la función  se obtiene trasladando la gráfica de la función  así:
- Si c > 0, la traslación es c unidades hacia arriba.
- Si c < 0, la traslación es c unidades hacia abajo.

El eje de simetría es el eje y, el vértice está en el punto (0,c) y pasa por los puntos (1,a+c) y (-1,a+c).

Caso 3
 , donde c=0

Para encontrar las coordenadas del vértice de este tipo de funciones se hace:

Y se remplaza este valor en la función dada, es decir:

Los x-interceptos se encuentran ubicados en los puntos (0,0) y  . El eje de simetría es una recta paralela al eje y con una ecuación .


Caso 4


La gráfica de esta función se obtiene a partir de la parábola que representa la función , trasladando la gráfica c unidades hacia arriba si c > 0, o c unidades hacia abajo si c < 0.


El vértice se encuentra ubicado en el punto con coordenadas  y pasa por los puntos (0,c) y . El eje de simetría es una recta paralela al eje y con ecuación .



JUGANDO CON FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.

Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma va1riable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido.


EJEMPLO

Mensualmente una compañía puede vender x unidades de cierto artículo a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: 

 

¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12.000 pesos?

SOLUCIÓN

Partimos de la siguiente ecuación de economía.

Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos

Datos suministrados

Ingreso = 12000 pesos

Precio de venta = 1400 – 40x

Número de artículos vendidos = x

Sustituimos estos datos en la ecuación  de economía

Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos

12000 = (1400 – 40x) × x

Destruyendo paréntesis nos queda

12000 = 1400x – 40x²

Lo que nos da una ecuación cuadrática, haremos ahora una transposición de términos para llevarla a su forma general, quedando de la siguiente manera.

40x² – 1400x + 12000 = 0     

Esta ecuación se puede simplificar dividiendo cada término entre 40.

Quedando

x² – 35x + 300 = 0, esta ecuación se puede solucionar por factorización, multiplicando dos paréntesis.

(x -20)(x – 15) = 0, de aquí se concluye que;

(x-20) = 0 ٨ (x-15) = 0, por lo que x = 20 y x =15, son las soluciones de este problema.